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\chapter{Variables Aleatorias Continuas}

\section{Fundamentos teóricos}
\subsection{Variables Aleatorias}
Se define una \emph{variable aleatoria} asignando a cada resultado del experimento aleatorio un número. Esta asignación puede realizarse de distintas maneras, obteniéndose de esta forma diferentes variables aleatorias. Así, en el lanzamiento de dos monedas podemos considerar el número de caras o el número de cruces. En general, si los resultados del experimento son numéricos, se tomarán dichos números como los valores de la variable, y si los resultados son cualitativos, se hará corresponder a cada modalidad un número arbitrariamente.

Formalmente, una \emph{variable aleatoria} $X$ es una función real
definida sobre los puntos del espacio muestral $E$ de un experimento
aleatorio. \[X:E\rightarrow \mathbb{R}\]

De esta manera, la distribución de probabilidad del espacio muestral
$E$, se transforma en una distribución de probabilidad para los
valores de $X$.

El conjunto formado por todos los valores distintos que puede tomar la variable aleatoria se llama \emph{Rango} o \emph{Recorrido} de la misma.

Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas o continuas. Una variable es \emph{discreta} cuando sólo puede tomar valores aislados, mientras que es \emph{continua} si puede tomar todos los valores posibles de un intervalo.

\subsection{Variables Aleatorias Continuas (v.a.c.)}
Se considera una v.a.c. $X$. En este tipo de variables, a diferencia
de las discretas, la probabilidad de que la variable tome un valor
aislado cualquiera es nula, y sólo hablaremos de probabilidades
asociadas a intervalos.

\subsubsection{Función de densidad}
La \emph{distribución de probabilidad} de $X$ se suele caracterizar
mediante una función $f(x)$, conocida como \emph{función de
densidad}. Formalmente, una función de densidad es una función no
negativa, integrable en $\mathbb{R}$, que cumple
\[
\int_{ - \infty }^\infty  {f(x)dx = 1}
\]

A partir de esta función, se puede calcular la probabilidad de que
el valor de la variable pertenezca a un intervalo $[a,b]$, midiendo
el área encerrada por dicha función y el eje de abscisas entre los
límites del intervalo, como se observa en la
figura~\ref{g:probabilidadintervalo}, es decir
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^b {f(x)dx}
\]

\begin{figure}[h!]% Version control information:
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  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/calculo_probabilidad_funcion_densidad}} 
  \caption{En una v.a.c. la probabilidad asociada a un intervalo $[a,b]$, es el área que queda encerrada por
  la función de densidad y el eje de abscisas entre los límites del intervalo.}\label{g:probabilidadintervalo}
\end{figure}

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\subsubsection{Función de distribución}
Otra forma equivalente de caracterizar la distribución de
probabilidad de $X$ es mediante otra función $F(x)$, llamada
\emph{función de distribución}, que asigna a cada $x\in \mathbb{R}$
la probabilidad de que $X$ tome un valor menor o igual que dicho
número $x$. Así,
\[
F(x) = P(X \le x) = \int_{ - \infty }^x {f(t)dt}
\]

A partir de la definición anterior es claro que la probabilidad de que la variable tome un valor en el
intervalo [a,b] puede calcularse a partir de la función de distribución de la siguiente forma:
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^b {f(x)dx = } \int_{ - \infty }^b {f(x)dx - } \int_{ - \infty }^a {f(x)dx = } F(b) - F(a)
\]


\subsubsection{Estadísticos poblacionales}
Los parámetros descriptivos más importantes de una v.a.c. $X$ son:
\begin{description}
\item [Media o Esperanza]
\[
E[X]=\mu  = \int_{ - \infty }^\infty  {xf(x)\,dx}
\]

\item [Varianza]
\[
V[X]=\sigma ^2  = \int_{ - \infty }^\infty {(x - \mu )^2 f(x)\,dx =
} \int_{ - \infty }^\infty  {x^2  f(x)\,dx - \mu ^2 }
\]

\item [Desviación típica]
\[
D[X]=\sigma  =  + \sqrt {\sigma ^2 }
\]
\end{description}

La media es una medida de tendencia central, mientras que la
varianza y la desviación típica son medidas de dispersión.

La v.a.c. más importante es la \emph{Normal}.

\subsubsection{Distribución Normal}

Una v.a.c. $X$ se dice que sigue una \emph{Distribución Normal} o
\emph{Gaussiana} de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se
designa por $X\sim N(\mu,\ \sigma)$, si su recorrido es todo
$\mathbb{R}$ y su función de densidad es
\[
f(x) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}e^{ - \frac{{(x - \mu )^2 }}{{2\sigma ^2 }}}
\]

Esta función tiene forma acampanada y es simétrica con respeto a la media $\mu$.

La distribución Normal es la distribución continua más importante, ya que muchos de los fenómenos que aparecen en la naturaleza presentan esta distribución. Ello es debido a que, como establece el \emph{Teorema Central del Límite}, cuando los resultados de un experimento están influidos por muchas causas independientes que actúan sumando sus efectos, se puede esperar que dichos resultados sigan una distribución normal.

La v.a.c normal de media 0 y desviación típica 1, $Z\sim N(0,1)$, se conoce como \emph{variable normal estándar} o \emph{tipificada} y se utiliza muy a menudo. Su función de densidad aparece en la figura~\ref{g:funciondensidadnormal} y su función de distribución en la figura~\ref{g:funciondistribucionnormal}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función de
densidad.]{\label{g:funciondensidadnormal}
\scalebox{0.7}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_normal_estandar}}}\qquad
\subfigure[Función de distribución.]{\label{g:funciondistribucionnormal}
\scalebox{0.7}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_distribucion_normal_estandar}}}
\caption{Función de densidad y función de distribución de la
variable aleatoria continua $Z$ Normal de media 0 y desviación
típica 1 \,\, $Z\sim N(0,1)$} \label{g:graficasvac}
\end{figure}

\subsubsection{Distribución Chi-cuadrado}
Si $Z_1,\ldots,Z_n$ son $n$ v.a.c. normales estándar independientes, entonces la variable
\[ X=Z_1^2+\cdots+Z_n^2\]
se dice que sigue una distribución \emph{Chi-cuadrado} con $n$
grados de libertad, y se nota $X\sim\chi^2(n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_chi_cuadrado}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria Chi cuadrado de 6 grados de libertad}\label{g:chicuadrado}
\end{figure}

Se cumple que
\begin{align*}
\mu &= n\\
\sigma &=+\sqrt{2n}
\end{align*}

La distribución Chi-cuadrado se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis sobre la varianza de la población.

\subsubsection{Distribución $T$ de Student}
Si $Z$ es una v.a.c. normal estándar y $X$ es una v.a.c chi-cuadrado con $n$ grados de libertad, ambas variables independientes, entonces la variable
\[
T=\frac{Z}{\sqrt{X/n}}
\]
se dice que sigue una distribución \emph{T de Student} con $n$
grados de libertad, y se nota $T\sim T(n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_t_student}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria t de student de 10 grados de libertad}\label{g:tstudent}
\end{figure}

Esta variable es muy parecida a la normal estándar pero un poco
menos apuntada, y se parece más a ésta a medida que aumentan los
grados de libertad, de manera que para $n\geq 30$ ambas
distribuciones se consideran prácticamente iguales. Se cumple que
\begin{align*}
\mu &= 0\\
\sigma &=+\sqrt{n/(n-2)}\quad \textrm{con } n>2
\end{align*}

La distribución $T$ de Student se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos de confianza y contrastes de hipótesis sobre la media de la población.

\subsubsection{Distribución $F$ de Fisher-Snedecor}
Si $X$ e $Y$ son dos v.a.c chi-cuadrado con $m$ y $n$ grados de libertad respectivamente, ambas variables
independientes, entonces la variable
\[
F=\frac{X/m}{Y/n}
\]
se dice que sigue una distribución $F$ de Fisher-Snedecor con $m$ y
$n$ grados de libertad, y se denota $F\sim F(m,\ n)$.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_continuas/img/funcion_densidad_f_fisher}} 
  \caption{Función de densidad de una variable aleatoria F de Fisher-Snedecor de 6 y 8 grados de libertad}\label{g:ffisher}
\end{figure}

\begin{align*}
\mu &= \frac{n}{n-2}\\
\sigma &=+\sqrt{\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}}\quad \textrm{con
} n>4
\end{align*}

De la definición se deduce fácilmente que $F(m,\ n)=\dfrac{1}{F(n,\
m)}$, y si llamamos $F(m,\ n)_p$ al valor que cumple que $P(F(m,\
n)\leq F(m,\ n)_p)=p$, entonces se verifica
\[
F(m,\ n)_p = \frac{1}{F(n,\ m)_{1-p}}
\]

La distribución $F$ de Fisher-Snedecor se utiliza en inferencia estadística para cálculos de intervalos
de confianza y contrastes de hipótesis sobre el cociente de varianzas de dos poblaciones, y en análisis de la varianza.

\clearpage
\newpage


\section{Ejercicios Prácticos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Dada la v.a.c. con distribución normal $X\sim N(0,\ 1)$ se pide:

\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de densidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Graficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{Normal} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir el valor de la media de la normal en el campo \texttt{Media} y el valor
de la desviación típica en el campo \texttt{Desv. Típ.}
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficos} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq0)$
\item $P(X\leq1.2)$
\item $P(X>1.2)$
\item $P(0\leq X \leq1.2)$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas}
y activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en el
campo \texttt{Variable Aleatoria}. Dichos valores son $0$ y
$1,2$. Los resultados correspondientes a los apartados 1) y 2) se
obtienen en \texttt{Área Cola Inferior}, el del apartado 3) en
\texttt{Área Cola Superior}, y el de 4) se calcula restando el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a $1,2$ menos el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a {0}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores $x_0$ que cumplan lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.995$
\item $P(X> x_0)=0.025$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas}
y activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas Inversas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir las probabilidades acumuladas en el campo \texttt{FDA}, que son $0,995$ para el apartado 1) y
$0,975$ para el 2).
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con la v.a.c. $X\sim N(-2,\ 3)$.

\item Dada la v.a.c. con distribución $T$ de Student $X\sim T(6)$ se pide:
\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de densidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Graficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{t de Student} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir los grados de libertad en el campo \texttt{G. L.}.
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficos} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq0)$
\item $P(X\leq1.2)$
\item $P(X>1.2)$
\item $P(0\leq X \leq1.2)$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el
botón \boton{Tablas} y activar la casilla
\opcion{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en el
campo \texttt{Variable Aleatoria}. Dichos valores son $0$ y
$1,2$. Los resultados correspondientes a los apartados 1) y 2) se
obtienen en \texttt{Área Cola Inferior}, el del apartado 3) en
\texttt{Área Cola Superior}, y el de 4) se calcula restando el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a $1,2$ menos el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a {0}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores $x_0$ que cumplan lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.995$
\item $P(X> x_0)=0.025$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas}
y activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas Inversas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir las probabilidades acumuladas en el campo \texttt{FDA}, que son $0,995$ para el apartado 1) y
$0,975$ para el 2).
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con la v.a.c. $X\sim T(100)$ y compararlos
con los del primer ejercicio. ¿A qué son debidas las semejanzas?

\begin{indicacion}{
Los resultados obtenidos para la variable $T(100)$ son muy similares
a los obtenidos para la $N(0,\ 1)$. Ello es debido a que una
distribución $T$ de Student con $n$ grados de libertad, cuando $n$
es grande, es muy similar a la $N(0,\ 1)$.}
\end{indicacion}

\item Dada la v.a.c. con distribución Chi-cuadrado $X\sim\chi^2(5)$ se pide:
\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de densidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Graficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{Chi-Cuadrada} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir los grados de libertad en el campo \texttt{G. L.}.
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficos} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq2)$
\item $P(X\leq7.5)$
\item $P(X>7.5)$
\item $P(2\leq X \leq7.5)$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas} y
activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en el
campo \texttt{Variable Aleatoria}. Dichos valores son $2$ y
$7,5$. Los resultados correspondientes a los apartados 1) y 2) se
obtienen en \texttt{Área Cola Inferior}, el del apartado 3) en
\texttt{Área Cola Superior}, y el de 4) se calcula restando el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a $7,5$ menos el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a {2}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores $x_0$ que cumplan lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.995$
\item $P(X> x_0)=0.025$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas} y
activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas Inversas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir las probabilidades acumuladas en el campo \texttt{FDA}, que son $0,995$ para el apartado 1) y
$0,975$ para el 2).
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con la v.a.c. $X\sim\chi^2(20)$.

\item Dada la v.a.c. con distribución $F$ de Fisher $X \sim F(5,\ 8)$ se pide:
\begin{enumerate}
\item Dibujar la gráfica de la función de densidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Graficar->Distribuciones de Probabilidad}.
\item Seleccionar \opcion{F (Razón de Varianzas)} en el cuadro de diálogo que aparece.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Análisis}.
\item Introducir los grados de libertad del numerador en el campo \texttt{Num. G. L.} y los
del denominador en el campo \texttt{G. L. Denom.}, es decir $5$
y $8$ respectivamente.
\item Hacer click en el botón \boton{Gráficos} y activar la casilla \opcion{Función de Masa/Densidad}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular las siguientes probabilidades:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq1)$
\item $P(X\leq3.5)$
\item $P(X>3.5)$
\item $P(1\leq X\leq3.5)$
\end{enumerate}

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \boton{Tablas} y
activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir los valores para los que se quiere calcular la función de distribución en el
campo \texttt{Variable Aleatoria}. Dichos valores son $1$ y
$3,5$. Los resultados correspondientes a los apartados 1) y 2) se
obtienen en \texttt{Área Cola Inferior}, el del apartado 3) en
\texttt{Área Cola Superior}, y el de 4) se calcula restando el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a $3,5$ menos el
\texttt{Área Cola Inferior} correspondiente a {1}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los valores $x_0$ que cumplan lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item $P(X\leq x_0)=0.995$
\item $P(X> x_0)=0.025$
\end{enumerate}
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item En la ventana de resultados del apartado anterior hacer click en el botón \texttt{Tablas} y
activar la casilla \opcion{Distribuciones Acumuladas Inversas}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir las probabilidades acumuladas en el campo \texttt{FDA}, que son $0,995$ para el apartado 1) y
$0,975$ para el 2).
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}
\item Repetir los apartados del ejercicio anterior con $X \sim F(8,\ 5)$. ¿Qué relación guardan los resultados
con los del apartado anterior?

\begin{indicacion}{
Se consideran dos variables $X \sim F(8,\ 5)$ e $Y \sim F(5,\ 8)$.
Sean $x_0$ e $y_0$ unos valores tales que $P(X\leq x_0)=0.995$ y
$P(Y\leq y_0)=0.005$. En ese caso, se verifica que $x_0 =
\frac{1}{y_0}$ según se indica en el apartado 1.2.7. }
\end{indicacion}
\end{enumerate}


\section{Problemas}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]

\item Sea $Z$ una variable aleatoria que sigue una distribución $N(0,\ 1)$. Determinar el valor de $x_0$ en
cada uno de los siguientes casos:

\begin{enumerate}

\item La probabilidad de que $Z$ esté entre 0 y $x_0$ es $0.4783$.

\item La probabilidad de que $Z$ esté por debajo de $x_0$ es $0.6406$.

\item La probabilidad de que $Z$ esté entre $-1.5$ y $x_0$ es $0.2313$.

\end{enumerate}

\item Hallar las siguientes probabilidades:

\begin{enumerate}

\item $P(-2.4\leq Z \leq-1.2)$ si $Z$ es $N(0,\ 1)$

\item $P(|Z|>1.2)$ si $Z$ es $N(0,\ 1)$

\item $P(1.3\leq X \leq3.3)$ si $X$ es $N(2,\ 1)$

\item $P(|X-3|>2)$ si $X$ es $N(3,\ 4)$

\end{enumerate}

\item Calcular:

\begin{enumerate}

\item $P(T\leq1.476)$ si $T\sim T(5)$

\item $P(T\geq0.69)$ si $T\sim T(16)$

\item El valor $t_0$ tal que $P(T<t_0)=0.995$ si $T\sim T(12)$

\item El valor $t_0$ tal que $P(T>t_0)=0.025$ si $T\sim T(8)$

\end{enumerate}

\item Calcular:

\begin{enumerate}

\item El valor $f_0$ tal que $P(F<f_0)=0.9$ si $F\sim F(12,\ 8)$

\item El valor $f_0$ tal que $P(F>f_0)=0.025$ si $F\sim F(5,\ 7)$

\end{enumerate}

\item Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en la sangre en ayunas $X$, puede suponerse de
distribución aproximadamente normal, con media 106mg/100ml y desviación típica 8mg/100ml.

\begin{enumerate}

\item Hallar $P(X\leq120\textrm{mg}/100\textrm{ml})$

\item ¿Qué porcentaje de diabéticos tendrá niveles entre 90 y 120mg/100ml?

\item Encontrar un valor que tenga la propiedad de que el 25\% de los diabéticos tenga un nivel de glucosa por debajo de dicho valor.

\end{enumerate}

\item Se sabe que el nivel de colesterol en varones de más de 30 años sigue una distribución normal, de media 220 y desviación típica 30. Realizado un estudio sobre 20000 varones mayores de 30 años,

\begin{enumerate}

\item ¿Cuántos se espera que tengan su nivel de colesterol entre 210 y 240?

\item ¿Cuántos se espera que tengan su nivel de colesterol por encima de 250?

\item ¿Cuál será el nivel de colesterol, por encima del cual se espera que esté el 20\% de la población?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\mbox{}
